Question

若對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f（x），恒有2f（x）+xf′（x）＞0，則f（x）

1. A.
   恒大于0
2. B.
   恒小于0
3. C.
   恒等于0
4. D.
   和0的大小關(guān)系不確定

Answer 1

A
分析：根據(jù)題目給出的條件2f（x）+xf′（x）＞0，想到構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²f（x），求導(dǎo)后分析該函數(shù)的單調(diào)性，從而能判出函數(shù)的極小值點(diǎn)，進(jìn)一步得到函數(shù)g（x）恒大于0，則有f（x）恒大于0．
解答：令g（x）=x²f（x），
則g^′（x）=2xf（x）+x²f^′（x）
=x（2f（x）+xf^′（x）），
因?yàn)?f（x）+xf′（x）＞0，
所以，當(dāng)x＞0時(shí)，g^′（x）＞0，所以函數(shù)g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
當(dāng)x＜0時(shí)，g^′（x）＜0，所以函數(shù)g（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)．
所以，當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)g（x）有極小值，也就是最小值為g（0）=0．
所以g（x）=x²f（x）恒大于等于0，
當(dāng)x≠0時(shí)，由x²f（x）恒大于0，可得f（x）恒大于0．
又對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f（x），恒有2f（x）+xf′（x）＞0，
取x=0時(shí)，有2f（0）+0×f^′（0）＞0，所以f（0）＞0．
綜上有f（x）恒大于0．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了構(gòu)造函數(shù)法，考查利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，解答的關(guān)鍵是合理構(gòu)造出函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．