【題目】已知，.

（1）令，求證：有唯一的極值點；

（2）若點為函數(shù)上的任意一點，點為函數(shù)上的任意一點，求、兩點之間距離的最小值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性以及零點存在定理，說明函數(shù)在定義域上有唯一零點，再分析函數(shù)在該零點處函數(shù)值符號，可得證函數(shù)有唯一極值點；

（2）根據(jù)函數(shù)與關于直線，將直線平移后與分別與曲線、切于、，由此可得出的最小值.

（1）由題意知，所以，

由單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又，，

所以存在唯一的，使得，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；

因此，函數(shù)有唯一的極值點；

（2）由于與互為反函數(shù)，兩個函數(shù)圖象關于直線對稱，

如下圖，

將直線平移使得平移后的直線與函數(shù)的圖象相切，，

令，，可得點.

將直線平移使得平移后的直線與函數(shù)的圖象相切，，

令，，可得點，

因此，、兩點間距離的最小值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：

質(zhì)量指標值分組

頻數(shù)

6

26

38

22

8

（1）在答題卡上畫出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖（要求用陰影部分顯示）；

（2）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定？

（3）估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均值及中位數(shù)（其中求平均值時同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，求中位數(shù)精確到0.1）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖1，在直角梯形中，，，點在上，且，將沿折起，使得平面平面(如圖2).為中點

(1)求證:；

(2)求四棱錐的體積；

(3)在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若數(shù)列滿足，且，則

①數(shù)列是等比數(shù)列；

②滿足不等式：

③若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列；

④存在數(shù)列中的連續(xù)三項，能組成三角形的三條邊；

⑤滿足等式：.

正確的序號是________

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著人民生活水平的日益提高，某小區(qū)居民擁有私家車的數(shù)量與日俱增．由于該小區(qū)建成時間較早，沒有配套建造地下停車場，小區(qū)內(nèi)無序停放的車輛造成了交通的擁堵．該小區(qū)的物業(yè)公司統(tǒng)計了近五年小區(qū)登記在冊的私家車數(shù)量（累計值，如147表示2016年小區(qū)登記在冊的所有車輛數(shù)，其余意義相同），得到如下數(shù)據(jù)：

編號

1

2

3

4

5

年份

2014

2015

2016

2017

2018

數(shù)量（單位：輛）

37

104

147

196

216

（1）若私家車的數(shù)量與年份編號滿足線性相關關系，求關于的線性回歸方程，并預測2020年該小區(qū)的私家車數(shù)量；

（2）小區(qū)于2018年底完成了基礎設施改造，劃設了120個停車位．為解決小區(qū)車輛亂停亂放的問題，加強小區(qū)管理，物業(yè)公司決定禁止無車位的車輛進入小區(qū)．由于車位有限，物業(yè)公司決定在2019年度采用網(wǎng)絡競拍的方式將車位對業(yè)主出租，租期一年，競拍方案如下：①截至2018年己登記在冊的私家車業(yè)主擁有競拍資格；②每車至多中請一個車位，由車主在競拍網(wǎng)站上提出申請并給出自己的報價；③根據(jù)物價部門的規(guī)定，競價不得超過1200元；④申請階段截止后，將所有申請的業(yè)主報價自高到低排列，排在前120位的業(yè)主以其報價成交；⑤若最后出現(xiàn)并列的報價，則以提出申請的時間在前的業(yè)主成交，為預測本次競拍的成交最低價，物業(yè)公司隨機抽取了有競拍資格的40位業(yè)主，進行了競拍意向的調(diào)查，并對他們的擬報競價進行了統(tǒng)計，得到如圖頻率分布直方圖：

（i）求所抽取的業(yè)主中有意向競拍報價不低于1000元的人數(shù)；

（ii）如果所有符合條件的車主均參與競拍，利用樣本估計總體的思想，請你據(jù)此預測至少需要報價多少元才能競拍車位成功？（精確到整數(shù)）

參考公式及數(shù)據(jù)：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為：；．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，，，為的中點．

（1）證明：平面；

（2）若點在棱上，且，求點到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著網(wǎng)絡和智能手機的普及與快速發(fā)展，許多可以解答各學科問題的搜題軟件走紅.有教育工作者認為：網(wǎng)搜答案可以起到拓展思路的作用，但是對多數(shù)學生來講，容易產(chǎn)生依賴心理，對學習能力造成損害.為了了解網(wǎng)絡搜題在學生中的使用情況，某校對學生在一周時間內(nèi)進行網(wǎng)絡搜題的頻數(shù)進行了問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的學生中抽取了男、女學生各50人進行抽樣分析，得到如下樣本頻數(shù)分布表：

將學生在一周時間內(nèi)進行網(wǎng)絡搜題頻數(shù)超過20次的行為視為“經(jīng)常使用網(wǎng)絡搜題”，不超過20次的視為“偶爾或不用網(wǎng)絡搜題”.

（1）根據(jù)已有數(shù)據(jù)，完成下列列聯(lián)表（單位：人）中數(shù)據(jù)的填寫，并判斷是否在犯錯誤的概率不超過1%的前提下有把握認為使用網(wǎng)絡搜題與性別有關？

（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，從該校所有參與調(diào)查的學生中，采用隨機抽樣的方法每次抽取一個人，抽取4人，記經(jīng)常使用網(wǎng)絡搜題的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.

參考公式：，其中.

參考數(shù)據(jù)：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），已知直線的方程為.

（1）設是曲線上的一個動點，當時，求點到直線的距離的最小值；

（2）若曲線上的所有點均在直線的右下方，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）當時，求曲線在點處切線的方程；

（2）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

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