Question

從10個(gè)元件中（其中4個(gè)相同的甲品牌元件和6個(gè)相同的乙品牌元件）隨機(jī)選出3個(gè)參加某種性能測(cè)試．每個(gè)甲品牌元件能通過(guò)測(cè)試的概率均為

4

5

，每個(gè)乙品牌元件能通過(guò)測(cè)試的概率均為

3

5

．試求：
（I）選出的3個(gè)元件中，至少有一個(gè)甲品牌元件的概率；
（II）若選出的三個(gè)元件均為乙品牌元件，現(xiàn)對(duì)它們進(jìn)行性能測(cè)試，求至少有兩
個(gè)乙品牌元件同時(shí)通過(guò)測(cè)試的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)C₁₀³，而滿足條件的事件是選出的3個(gè)元件中，至少有一個(gè)甲品牌元件，它的對(duì)立事件是沒(méi)有甲品牌的元件，做出對(duì)立事件的概率，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式得到結(jié)果．
（Ⅱ）由題意知至少有兩個(gè)乙品牌元件同時(shí)通過(guò)測(cè)試包括兩種情況，一是有兩個(gè)通過(guò)測(cè)試，二是三個(gè)都通過(guò)測(cè)試，這兩種情況是互斥的，根據(jù)每個(gè)乙品牌元件能通過(guò)測(cè)試的概率均為

3

5

，用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，
試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)C₁₀³，
而滿足條件的事件是選出的3個(gè)元件中，至少有一個(gè)甲品牌元件，
它的對(duì)立事件是沒(méi)有甲品牌的元件，
設(shè)事件A：選出的3個(gè)元件中，至少有一個(gè)甲品牌元件；
則P（

.

A

）=

C 3 6

C 3 10

=

1

6

，
由對(duì)立事件的概率公式得到
∴P（A）=1-

1

6

=

5

6

即隨機(jī)選出的3個(gè)元件中，至少有一個(gè)甲品牌元件的概率為

5

6

；
（Ⅱ）設(shè)事件B：選出的三個(gè)均為乙品牌元件，至少有兩個(gè)乙品牌元件通過(guò)測(cè)試，
至少有兩個(gè)乙品牌元件同時(shí)通過(guò)測(cè)試包括兩種情況，一是有兩個(gè)通過(guò)測(cè)試，二是三個(gè)都通過(guò)測(cè)試，這兩種情況是互斥的，
∴P（B）=

C

2 3

(

3

5

)2(1-

3

5

)+

C

3 3

(

3

5

)3=

81

125

；
即至少有兩個(gè)乙品牌元件同時(shí)通過(guò)測(cè)試的概率為

81

125

；

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，互斥事件的概率，是一個(gè)概率部分的綜合題，解題的關(guān)鍵是認(rèn)清事件的分類(lèi)．