Question

12．公比為q（q≠1）的等比數列a₁，a₂，a₃，a₄，若刪去其中的某一項后，剩余的三項（不改變原有順序）成等差數列，則所有滿足條件的q的取值的代數和為0．

Answer 1

分析 由題意可知a₂=a₁q，a₃=${a}_{1}{q}^{2}$，a₄=${a}_{1}{q}^{3}$，然后分別刪去a₁，a₂，a₃，a₄，利用等差數列的性質列式求得q值，則答案可求．

解答 解：由題意知，a₂=a₁q，a₃=${a}_{1}{q}^{2}$，a₄=${a}_{1}{q}^{3}$．
若刪去a₁，則$2{a}_{1}{q}^{2}={a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}$，即q³-q²+q=0，解得q∈∅；
若刪去a₂，則$2{a}_{1}{q}^{2}={a}_{1}+{a}_{1}{q}^{3}$，即q³-2q²+1=0，解得q=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$；
若刪去a₃，則$2{a}_{1}q={a}_{1}+{a}_{1}{q}^{3}$，即q³-2q+1=0，解得q=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$；
若刪去a₄，則$2{a}_{1}q={a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}$，即q²-2q+1=0，解得q=1（舍）．
∴所有滿足條件的q的取值的代數和為$\frac{1-\sqrt{5}}{2}+\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{-1-\sqrt{5}}{2}+\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=0$．
故答案為：0．

點評 本題是等差數列與等比數列的綜合題，考查等比數列的通項公式，考查等差數列的性質，是中檔題．