Question

已知四棱錐DM如圖1所示，其三視圖如圖2所示，其中正視圖和側(cè)視圖都是直角三角形，俯視圖是矩形．

（1）若E是PD的中點(diǎn)，求證：AE⊥平面PCD；
（2）求此四棱錐的表面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）通過證明AE⊥CD，AE⊥PD，利用直線與平面垂直的判定定理證明AE⊥平面PCD．
（2）求出底面面積S_ABCD=2×2=4，和高h(yuǎn)=2，然后親姐姐側(cè)面積，即可求解四棱錐P-ABCD的表面積．

解答： （1）證明：由三視圖可知，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA
∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD
又PA∩AD=A，PA?平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD，
∵AE?平面PAD，∴AE⊥CD
又△PAD是等腰直角三角形，E為PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD
又PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AE⊥平面PCD…（7分）
（2）解：由題意可知，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，
其面積S_ABCD=2×2=4，高h(yuǎn)=2，斜高PB=PD=2

2

．
所以四棱錐P-ABCD的表面積S=2•2+

1

2

•2•2+

1

2

•2•2+

1

2

•2•2

2

+

1

2

•2•2

2

=8+4

2

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查張?bào)阌昶矫娲怪钡呐卸ǘɡ淼膽?yīng)用，幾何體的表面積的求法，考查計(jì)算能力．