Question

（2013•靜安區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}的遞推公式為

an=3an-1-2n+3，(n≥2，n∈N*) a1=2

（1）令b_n=a_n-n，求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前 n項和．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，可得

bn

bn-1

=3(n≥2)，利用等比數(shù)列的定義，可得結(jié)論；
（2）確定數(shù)列的通項，利用分組求和，可求數(shù)列{a_n}的前n項和．

解答：（1）證明：由題意，b_n=a_n-n=3a_n-1-2n+3-n=3a_n-1-3n+3=3（a_n-1-（n-1））=3b_n-1，n≥2
又b₁=a₁-1=1，所以b_n≠0（n∈N^*），

bn

bn-1

=3(n≥2)
所以，數(shù)列{b_n}是以1為首項3為公比的等比數(shù)列．（6分）
（2）解：由（1）知，bn=3n-1，a_n=b_n+n（8分）
所以數(shù)列{a_n}的前 n項和S_n=（b₁+b₂+…+b_n）+（1+2+…+n）=

3n+n2+n-1

2

（14分）

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的判定與通項，考查分組求和，考查學(xué)生的計算能力，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．