Question

由坐標原點O向曲線y=x³-3ax²+bx（a≠0）引切線，切于O以外的點P₁（x₁，y₁），再由P₁引此曲線的切線，切于P₁以外的點P₂（x₂，y₂），如此進行下去，得到點列{ P_n（x_n，y_n}}．
求：（Ⅰ）x_n與x_n-1（n≥2）的關系式；
（Ⅱ）數列{x_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f'（x）=3x²-6ax+b過點P₁（x₁，y₁）的切線為l₁：y-y₁=f'（x₁）（x-x₁）（x₁≠0），由l₁過原點，解得x₁=

3

2

a．則過點P_n（x_n，y_n）的切線為l_n：y-y_n=f'（x_n）（x-x_n），由此能求出x_n與x_n-1（n≥2）的關系式．
（Ⅱ）由（I）得數列{xn-a}是首項為

a

2

，公比為-

1

2

的等比數列．由此能求出數列{x_n}的通項公式．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-6ax+b過點P₁（x₁，y₁）的切線為l₁：y-y₁=f'（x₁）（x-x₁）（x₁≠0），
∵l₁過原點，
∴-(

x

3 1

-3a

x

2 1

+bx1)=(-x1)(3

x

2 1

-6ax1+b)，解得x1=

3

2

a．…（2分）
則過點P_n（x_n，y_n）的切線為l_n：y-y_n=f'（x_n）（x-x_n），
∵l_n過點P_n-1（x_n-1，y_n-1），
∴y_n-1-y_n=f'（x_n）（x_n-1-x_n）…（6分）
整理得[

x

2 n-1

+xn-1xn-2

x

2 n

-3a(xn-1-xn)](xn-1-xn)=0．
∴(xn-1-xn)2(xn-1+2xn-3a)=0，
由x_n≠x_n-1，得x_n-1+2x_n-3a=0，
∴xn=-

1

2

xn-1+

3

2

a，n≥2，（8分）．
（Ⅱ）由（I）得，xn-a=-

1

2

(xn-1-a)．…(10分)，
∴數列{xn-a}是首項為

a

2

，公比為-

1

2

的等比數列．…（12分）
∴xn-a=

a

2

(-

1

2

)n-1，
∴xn=[1-(-

1

2

)n]a．…（14分）

點評：本題考查數列的通項公式的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等比數列、導數、切線方程等知識點的靈活運用．