Question

如圖，已知四棱錐E－ABCD的底面為菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝

（1）求證：平面EAB⊥平面ABCD

（2）求二面角A－EC－D的余弦值

 

Answer 1

【答案】

（1）先證EO⊥平面ABCD即可得證  （2）

【解析】

試題分析：（1）證明：取AB的中點(diǎn)O，連接EO，CO

△AEB為等腰直角三角形

∴EO⊥AB，EO＝1

又∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，

，又

∵EO⊥平面ABCD，又EO平面EAB，∴平面EAB⊥平面ABCD

（2）以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB所在直線為y軸，OE所在直線為z軸，如圖建系則

，，＝

（0，2，0）

設(shè)平面DCE的法向量為，則，即，解得：

同理求得平面EAC的一個(gè)法向量為

，所以二面角A－EC－D的余弦值為

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角 平面與平面垂直判定 二面角的平面角及求法

點(diǎn)評：本題給出特殊四棱錐，求證面面垂直并求二面角的余弦值，著重考查了空間線面垂直、

面面垂直的判定與性質(zhì)和利用空間向量的方法求面面所成角的知識(shí)，屬于中檔題.