橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，橢圓與直線x+2y+8=0相交于點P，Q，且|PQ|=
10
，求橢圓的方程．
分析：設出橢圓的標準方程，根據(jù)離心率及a、b、c的關系消去一個參數(shù)，使橢圓的標準方程中只含有一個參數(shù)；把直線方程代入橢圓的方程，轉化為關于y的一元二次方程，使用根與系數(shù)的關系以及兩點間的距離公式，求出這個參數(shù)的值，進而得到橢圓的標準方程．
解答：解：e=
c
a
=
3
2
，則c=
3
2
a．由c2=a2-b2，得a2=4b2．
由
x2
4b2
+
y2
b2
=1
x+2y+8=0
消去x，得2y2+8y+16-b2=0．
由根與系數(shù)關系，得y1+y2=-4，y1y2=
16-b2
2
．
|PQ|2=（x2-x1）2+（y2-y1）2 =5（y1-y2）2 =5[（y1+y2）2-4y1y2]=10，
即5[16-2（16-b2）]=10，解得b2=9，則a2=36．
所以橢圓的方程為
x2
36
+
y2
9
=1．
點評：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程、一元二次方程根與系數(shù)的關系，以及兩點間的距離公式的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準線方程為x=2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，求證：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF1的中點，求證：∠ATM=∠AF1T．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設 A（x1，y1）、B（x2，y2）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的兩點，O為坐標原點，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A點坐標為（a，0），求點B的坐標；
（2）設
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，證明點M在橢圓上；
（3）若點P、Q為橢圓 上的兩點，且
PQ
∥
OB
，試問：線段PQ能否被直線OA平分？若能平分，請加以證明；若不能平分，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：四川 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e=
2
2
，右準線方程為x=2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點F1的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直線l的方程．

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