Question

如圖所示，在邊長為的正方形中，點在線段上，且，，作，分別交，于點，，作，分別交，于點，，將該正方形沿，折疊，使得與重合，構(gòu)成如圖所示的三棱柱．
（1）求證：平面； 
（2）求四棱錐的體積；
（3）求平面與平面所成角的余弦值．

Answer 1

（1）在正方形中，因為，
所以三棱柱的底面三角形的邊．
因為，，
所以，所以．
因為四邊形為正方形，，
所以，而，
所以平面．----------- 4分
（2）因為平面，所以為四棱錐的高．
因為四邊形為直角梯形，且，，
所以梯形的面積為．
所以四棱錐的體積．-----------8分
(3)由(1)(2)可知，，，兩兩互相垂直．以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，、

則，，，，，
所以，，
設(shè)平面的一個法向量為．
則，即．
令，則．所以．
顯然平面的一個法向量為．
設(shè)平面與平面所成銳二面角為，
則．
所以平面與平面所成角的余弦值為．

略