Question

（2012•綿陽一模）已知{a_n}是遞增數(shù)列，且對任意的n∈N^*都有a_n=n²+2

3

sinθ•n（θ∈[0，2π]）恒成立，則角θ的取值范圍是

[0，

4π

3

]∪[

5π

3

，2π]

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知條件{a_n}是遞增數(shù)列，且對任意的n∈N^*都有a_n=n²+2

3

sinθ•n（θ∈[0，2π]）恒成立，可以推出a_n+1≥a_n，推出一個關(guān)于n，θ的不等式，轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，從而進(jìn)行求解；

解答：解：∵{a_n}是遞增數(shù)列，且對任意的n∈N^*都有a_n=n²+2

3

sinθ•n（θ∈[0，2π]）恒成立，
∴a_n+1≥a_n，對任意的n∈N^*都成立，
∴（n+1）²+2

3

sinθ•（n+1）-n²-2

3

sinθ•n，
∴2n+1+2

3

sinθ≥0，轉(zhuǎn)化為2

3

sinθ≥-2n-1，恒成立，因?yàn)閚≥1，n∈N^*，
∴-2n-1≥-3，
∴2

3

sinθ≥-3，解得sinθ≥-

3

2

，∵θ∈[0，2π]
解得0≤θ≤

4π

3

，或

5π

3

≤θ≤2π，
故答案為：[0，

4π

3

]∪[

5π

3

，2π]；

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是數(shù)列的函數(shù)特性，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)已知條件將問題轉(zhuǎn)化為一個不等式恒成立問題是解答本題的關(guān)鍵．