Question

16．設函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2），x≤0}\\{-ax（x+2），x＞0}\end{array}\right.$是一個奇函數(shù)，則滿足f（2-x²）+f（x）＜0的x的取值范圍是（-1，2）．

Answer 1

分析 由條件根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求得a的值，從而得到f（x）的解析式；由所給的不等式結(jié)合f（x）的圖象可得x的不等式，解此二次不等式，求得x的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2），x≤0}\\{-ax（x+2），x＞0}\end{array}\right.$是一個奇函數(shù)，
設x＜0，則-x＞0，
且f（-x）=-f（x），即-a（-x）（-x+2）=-x（x-2），
化簡可得ax（2-x）=x（2-x），∴a=1．
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2），x≤0}\\{-x（x+2），x＞0}\end{array}\right.$，故函數(shù)f（x）為R上的減函數(shù)，它的圖象如圖．
由f（2-x²）+f（x）＜0，可得2-x²＞-x，即x²-x-2＜0，
求得x∈（-1，2）．
故答案為：（-1，2）．

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應用，函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性的應用，二次不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．