Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}+b}{{e}^{x}}$（b∈R）f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線為x-y=0．
（1）求證：當(dāng)x＞-1時(shí)，f（x）≥$\frac{x}{x+1}$；
（2）若當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≤$\frac{x}{ax+1}$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}+b}{{e}^{x}}$=1+$\frac{{e}^{x}}$，f′（x）=-$\frac{{e}^{-x}}$．利用f′（0）=-b=1，解得b．可得f（x）=1-$\frac{1}{{e}^{x}}$，要證明當(dāng)x＞-1時(shí)，f（x）≥$\frac{x}{x+1}$，即證明e^x≥x+1，令g（x）=e^x-x-1，（x＞-1）．利用當(dāng)時(shí)研究其單調(diào)性極值即可得出．
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，不等式0≤f（x）=$1-\frac{1}{{e}^{x}}$≤$\frac{x}{ax+1}$，當(dāng)x≥0，1-e^-x∈[0，1），可得$\frac{x}{ax+1}$≥0，必須a≥0．于是不等式$1-\frac{1}{{e}^{x}}$≤$\frac{x}{ax+1}$恒成立?（ax+1）（1-e^-x）-x≤0在[0，+∞）上恒成立．令u（x）=（ax+1）（1-e^-x）-x，則u′（x）=a（1-e^-x）+（ax+1）e^-x-1，令v（x）=a（1-e^-x）+（ax+1）e^-x-1，v′（x）=e^-x（2a-ax-1）．對(duì)a分類討論：當(dāng)a=0時(shí)，容易驗(yàn)證．當(dāng)a＞0時(shí)，v′（x）=-ae^-x$（x-\frac{2a-1}{a}）$．對(duì)a分類討論：i）若2a-1≤0，即$0＜a≤\frac{1}{2}$時(shí)，v′（x）≤0，即可得出ii）若2a-1＞0，即a$＞\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)$0＜x＜\frac{2a-1}{a}$時(shí)，v′（x）＞0舍去．

解答 （1）證明：∵f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線為x-y=0．可知：切線的斜率為1．
函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}+b}{{e}^{x}}$=1+$\frac{{e}^{x}}$，f′（x）=-$\frac{{e}^{-x}}$．
∴f′（0）=-b=1，解得b=-1．
∴f（x）=1-$\frac{1}{{e}^{x}}$，
要證明當(dāng)x＞-1時(shí)，f（x）≥$\frac{x}{x+1}$，即證明e^x≥x+1，
令g（x）=e^x-x-1，（x＞-1）．
g′（x）=e^x-1，
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)0＞x＞-1時(shí)，g′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)g（x）取得極小值即最小值，g（0）=0，
∴g（x）≥0，
∴e^x≥x+1．
（2）解：當(dāng)x≥0時(shí)，不等式0≤f（x）=$1-\frac{1}{{e}^{x}}$≤$\frac{x}{ax+1}$，
∵x≥0，1-e^-x∈[0，1），∴$\frac{x}{ax+1}$≥0，
若x=0，則a∈R．若x＞0，則ax+1＞0，即a＞-$\frac{1}{x}$恒成立，則a≥0．
于是不等式$1-\frac{1}{{e}^{x}}$≤$\frac{x}{ax+1}$恒成立?（ax+1）（1-e^-x）-x≤0在[0，+∞）上恒成立．
令u（x）=（ax+1）（1-e^-x）-x，u（0）=0，則u′（x）=a（1-e^-x）+（ax+1）e^-x-1，
令v（x）=a（1-e^-x）+（ax+1）e^-x-1，v′（x）=e^-x（2a-ax-1），v（0）=0．
①當(dāng)a=0時(shí)，v′（x）=-e^-x＜0，∴v（x）=u′（x）≤v（0）=0．
∴u（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，∴u（x）≤u（0）=0，∴f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立．
②當(dāng)a＞0時(shí)，v′（x）=-ae^-x$（x-\frac{2a-1}{a}）$．
i）若2a-1≤0，即$0＜a≤\frac{1}{2}$時(shí)，v′（x）≤0，∴v（x）=u′（x）≤v（0）=0．
∴u（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，∴u（x）≤u（0）=0，∴f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立．
ii）若2a-1＞0，即a$＞\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)$0＜x＜\frac{2a-1}{a}$時(shí)，v′（x）＞0，∴v（x）在$（0，\frac{2a-1}{a}）$上單調(diào)遞減，
∴v（x）=u′（x）＞v（0）=0．
∴u（x）在$（0，\frac{2a-1}{a}）$上單調(diào)遞增，∴u（x）＞u（0）=0，∴f（x）＞g（x），不滿足條件，舍去．
綜上可得：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤$\frac{x}{ax+1}$恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[0，\frac{1}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、恒成立問題等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．