Question

19．已知x，y∈R⁺，$\overrightarrow{a}$=（x，1），$\overrightarrow$=（1，y-1），若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值為4．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的數(shù)量積的運算得到x+y=1，再由（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+y）=2+$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$，根據(jù)基本不等式可得答案．

解答 解：$\overrightarrow{a}$=（x，1），$\overrightarrow$=（1，y-1），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=x+y-1=0，
即x+y=1，
∵x，y∈R⁺，
∴（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+y）=2+$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥2+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{x}{y}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=$\frac{1}{2}$時取等號．
故答案為：4．

點評 本題為基本不等式求最值的應(yīng)用，注意“1”的代入是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．