Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥AB，PA⊥AD．

（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）已知PA＝AD，點(diǎn)E在PD上，且PE：ED＝2：1．

（ⅰ）若點(diǎn)F在棱PA上，且PF：FA＝2：1，求證：EF∥平面ABCD；

（ⅱ）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）（ⅰ）證明見解析，（ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理即可證出.

（Ⅱ）（ⅰ）利用線面平行的判定定理即可證出；

（ⅱ）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面ACE的一個法向量以及平面ADC的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積即可求出.

證明：（Ⅰ）∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，

∴PA⊥平面ABCD．

（Ⅱ）（ⅰ）PA＝AD，點(diǎn)E在PD上，且PE：ED＝2：1．

點(diǎn)F在棱PA上，且PF：FA＝2：1，

∴EF∥AD，

∵EF平面ABCD，AD平面ABCD，

∴EF∥平面ABCD．

解：（ⅱ）∵在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥AB，PA⊥AD，

PA＝AD，點(diǎn)E在PD上，且PE：ED＝2：1．

∴以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)PA＝AD＝3，則A（0，0，0），C（3，3，0），E（0，2，1）．

（3，3，0），（0，2，1），

設(shè)平面ACE的法向量（x，y，z），

則，取x＝1，得（1，﹣1，2），

平面ADC的法向量（0，0，1），

設(shè)二面角D﹣AC﹣E的平面角為α，

則cosα．

∴二面角D﹣AC﹣E的余弦值為．