Question

已知x=是函數(shù)f（x）=的極值點(diǎn)．
（1）當(dāng)b≠0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)b∈R時(shí)，函數(shù)y=f（x）﹣m有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（x²﹣2ax）e^x，
∴f '（x）=（2x﹣2a）e^x+（x²﹣2ax）e^x=[x²+2（1﹣a）x﹣2a]e^x．
由已知得，，
∴2+2﹣2a﹣2=0，
解得a=1．
∴f（x）=（x²﹣2x）e^x，
∴f '（x）=（x²﹣2）e^x．
當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f '（x）＜0，
當(dāng)x∈（）時(shí)，f '（x）＞0．
又f（0）=0，所以當(dāng)b＜0時(shí)，f（x）在（﹣）上單調(diào)遞減，（）單調(diào)遞增；
當(dāng)b＞0時(shí)，f（x）在（﹣∞，0），（）上單調(diào)遞增，在（0，）上單調(diào)遞減．
（2）由（1）知，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，f（x）∈（），
當(dāng)x時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，f（x）∈（（2﹣2），+∞）．
要使函數(shù)y=f（x）﹣m有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
①當(dāng)b＞0時(shí)，m=0或m=（2﹣）；
②當(dāng)b=0時(shí)，m∈（（2﹣2），0）；
③當(dāng)b＜0時(shí)，m∈（（2﹣2），+∞）．