Question

已知兩點F₁（-1，0）及F₂（1，0），點P在以F₁、F₂為焦點的橢圓C上，且|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|構成等差數列．

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖，動直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點，點M，N是直線l上的兩點，且F₁M⊥l，F₂N⊥l．求四邊形F₁MNF₂面積S的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）。

【解析】

試題分析：（1）依題意，設橢圓的方程為．

構成等差數列，

， ．

又，．

橢圓的方程為． 4分 

(2) 將直線的方程代入橢圓的方程中，得．                5分

由直線與橢圓僅有一個公共點知，，

化簡得：．                           7分

設，，    9分

（法一）當時，設直線的傾斜角為，

則，

，       

，11分

，當時，，，．

當時，四邊形是矩形，．   13分

所以四邊形面積的最大值為．    14分

（法二），

．

．

四邊形的面積，  11分                      

                                                 ．   13分

當且僅當時，，故．

所以四邊形的面積的最大值為．     14分

考點：橢圓的標準方程；橢圓的簡單性質；橢圓的定義；直線與橢圓的綜合應用；基本不等式。

點評：（1）本題主要考查橢圓的方程與性質、直線方程、直線與橢圓的位置關系等基礎知

識，考查學生運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查分類討論、數形結合、化歸與轉化思想．（2）做此題的關鍵是表示出四邊形的面積。本題在計算過程中較為復雜繁瑣，我們在計算的過程中一定要耐住性子，認真、細致，避免出現計算錯誤。