Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a4=

7

4

，點(diǎn)(an，an+1) (n∈N*)在直線y=x+

1

2

上，數(shù)列{b_n}滿足：b1=-

119

4

且bn=

1

3

bn-1+

1

3

n(n≥2，n∈N*)．
（I）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求證：數(shù)列{b_n-a_n}為等比數(shù)列；
（III）求{b_n}的通項(xiàng)公式；并探求數(shù)列{b_n}的前n和的最小值．

Answer 1

分析：（I）由點(diǎn)(an，an+1) (n∈N*)在直線y=x+

1

2

上，得到an+1=an+

1

2

，所以，{a_n}為公差為

1

2

的等差數(shù)列，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（II）由b_n-a_n=bn-

2n-1

4

，知

bn-an

bn-1-an-1

=

bn- 2n-1 4

bn-1- 2n-3 4

=

1

3

．且b₁-a₁=-30，由此能夠證明數(shù)列{b_n-a_n}是以-30為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
（III）由（II）知，bn-an=-30•(

1

3

)n-1，所以，bn=an-30•(

1

3

)n-1=

n

2

-

1

4

-30•(

1

3

)n-1，采用分組求和法，可以求數(shù)列{b_n}的前n和Tn=

n2

4

+45•(

1

3

)n-45，故T₃=-

493

12

最�。�

解答：（I）解：點(diǎn)(an，an+1) (n∈N*)在直線y=x+

1

2

上，
得到an+1=an+

1

2

（1分）
所以，{a_n}為公差為

1

2

的等差數(shù)列，（2分）
所以，an=a4+(n-4)d=

7

4

+(n-4)•

1

2

=

2n-1

4

（3分）
（II）證明：∵b_n-a_n=bn-

2n-1

4

，
∴

bn-an

bn-1-an-1

=

bn- 2n-1 4

bn-1- 2n-3 4

=

bn-1 3 + n 3 - 2n-1 4

bn-1- 2n-3 4

=

bn-1 3 - 2n-3 12

bn-1- 2n-3 4

=

1

3

．
∵b₁-a₁=-30，
∴數(shù)列{b_n-a_n}是以-30為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
（III）解：由（II）知，bn-an=-30•(

1

3

)n-1 
所以，bn=an-30•(

1

3

)n-1=

n

2

-

1

4

-30•(

1

3

)n-1（8分）
采用分組求和法，可以求數(shù)列{b_n}的前n和Tn=

n2

4

+45•(

1

3

)n-45（9分）
Tn+1-Tn=

2n+1

4

-30•(

1

3

)n（10分）
當(dāng)n=1，2時，Tn+1-Tn=

2n+1

4

-30•(

1

3

)n＜0，
則T_n遞減，即T₁＞T₂＞T₃，
當(dāng)n≥3時，Tn+1-Tn=

2n+1

4

-30•(

1

3

)n＞0，
則T_n遞增，即T₃＜T₄＜T₅＜…，
故T₃=-

493

12

最小．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和等比數(shù)列的證明，探求數(shù)列{b_n}的前n和的最小值．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯，是高考的重點(diǎn)．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．