Question

（2013•龍泉驛區(qū)模擬）已知函數(shù)f（x）=lnx．
（1）求函數(shù)g（x）=f（x）-x的最大值；
（2）若?x＞0，不等式f（x）≤ax≤x²+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求h（x）的最大值；
（2）f（x）≤ax≤x²+1對一切x∈（0，+∞）恒成立，等價于

a≥ lnx x a≤x+ 1 x

對一切x∈（0，+∞）恒成立，分離參數(shù)，求出函數(shù)的最值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）g（x）=f（x）-x=lnx-x（x＞0），則g′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

．
當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＞0，則g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，則g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以，g（x）在x=1處取得最大值，且最大值為-1．     …（3分）
（2）由條件得

a≥ lnx x a≤x+ 1 x

在x＞0上恒成立．
設(shè)h（x）=

lnx

x

，則h′（x）=

1-lnx

x2

．
當(dāng)x∈（0，e）時，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（e，+∞）時，h′（x）＜0，
所以，h（x）≤

1

e

．
要使f（x）≤ax恒成立，必須a≥

1

e

．
另一方面，當(dāng)x＞0時，x+

1

x

≥2，要使ax≤x²+1恒成立，
必須a≤2．
所以，滿足條件的a的取值范圍是[

1

e

，2]．            …（7分）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．