Question

（2011•許昌一模）設(shè)點M（x，y）到直線x=4的距離與它到定點（2，0）的距離之比為

2

，并記點M的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點（2，0）作直線l與曲線C相交于A、B兩點，問C上是否存在點P，使得

OP

=

OA

+

OB

成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意利用兩點間的距離公式可得：

|x-4|

(x-2)2+y2

=

2

，整理即可．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知l的斜率一定不為0，故不妨設(shè)l：x=my+2．代入C的方程并整理得到根與系數(shù)的關(guān)系；假設(shè)存在點P，使

OP

=

OA

+

OB

成立?點P的坐標（x₁+x₂，y₁+y₂）滿足橢圓的方程．又A、B在橢圓上，即滿足橢圓的方程．可得x₁x₂+2y₁y₂+4=0，代入解得m，即可得到點P的坐標．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：

|x-4|

(x-2)2+y2

=

2

，整理得C：

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知l的斜率一定不為0，故不妨設(shè)l：x=my+2．
代入C的方程，并整理得（m²+2）y²+4my-4=0，顯然△＞0．
由韋達定理有：y1+y2=-

4m

m2+2

，y1y2=-

4

m2+2

，①
假設(shè)存在點P，使

OP

=

OA

+

OB

成立，則其充要條件為：
點P的坐標為（x₁+x₂，y₁+y₂），點P在橢圓上，即

(x1+x2)2

8

+

(y1+y2)2

4

=1．
整理得

x

2 1

+2

y

2 1

+

x

2 2

+2

y

2 2

+2x1x2+4y1y2=8．
又A、B在橢圓上，即

x

2 1

+2

y

2 1

=8，

x

2 2

+2

y

2 2

=8．
故x₁x₂+2y₁y₂+4=0        ②
將x₁x₂=（my₁+2）（my₂+2）=m²y₁y₂+2m（y₁+y₂）+4及①代入②解得m²=2．
∴y1+y2=

2

或-

2

，x1+x2=-

4m2

m2+2

+4=2，即點P(2，±

2

)．     
所以，存在點P，使得

OP

=

OA

+

OB

，
這時直線l的方程為x-

2

y-2=0或x+

2

y-2=0．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量的運算、兩點間的距離公式等基本知識與基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力與計算能力．．