Question

考慮以下數(shù)列a_n，n∈N^*：①a_n=n²+n+1；②a_n=2n+1；③an=ln

n

n+1

．其中滿足性質(zhì)“對任意正整數(shù)n，

an+2+an

2

≤an+1都成立”的數(shù)列有

 

（寫出滿足條件的所有序號）；若數(shù)列a_n滿足上述性質(zhì)，且a₁=1，a₂₀=58，則a₁₀的最小值為

 

．

Answer 1

分析：將數(shù)列的通項代入計算驗證即可，根據(jù)，

an+2+an

2

≤an+1，由取得等號時的數(shù)列來求得最小值．

解答：解：①an=n²+n+1 中

an+2+an

2

=n2+3n+4
a_n+1=n²+3n+3

an+2+an

2

＞an+1
②an=2n+1中

an+2+an

2

=2n+3
a_n+1=2n+3

an+2+an

2

=an+1
③an=ln

n

n+1

，

an+2+an

2

=

ln( n+2 n+3 • n n+1 )

2

=

ln n2+2n n2+4n+3

2

，
an+1=ln(

n+1

n+2

)，2an+1=2ln(

n+1

n+2

)=ln(

n2+2n+1

n2+4n+4

)，
計算得

an+2+an

2

＜an+1
當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時取等號，取得最小值
所以：a₁=1，a₂₀=a₁+（n-1）d=58
∴d=3
∴a₁₀=a₁+9d=28
∴a₁₀的最小值為：28
故答案為：②③；28

點評：本題主要考查數(shù)列中的函數(shù)思想，數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，在研究單調(diào)性，對稱性，周期性，構(gòu)造不等式研究恒成立以及與其他知識間的滲透等方面考查靈活，難度也較大，近幾年高考也作為壓軸題出現(xiàn)．