Question

已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2014|的定義域為R，給定兩集合A={a∈R|f（（12a⁴-10a²+1）（a²+2））=f（a²+2）}及B={a∈R|f（x）≥f（a），x∈R}，則集合A∩B的元素個數(shù)是

 

．

Answer 1

考點：集合中元素個數(shù)的最值,交集及其運算

專題：計算題,集合

分析：f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2014|的幾何意義是到點2014，2013，…，-2014的距離之和．因些在[-1，1]上有最小值，且為偶函數(shù)．

解答： 解：∵B={a∈R|f（x）≥f（a），x∈R}，
∴f（a）=f（x）_min；
又∵函數(shù)f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2014|；
由其幾何意義可知，當x∈[-1，1]時，f（x）有最小值，
則B=[-1，1]．
∵f（（12a⁴-10a²+1）（a²+2））=f（a²+2），
又∵a²+2≥2；
則（12a⁴-10a²+1）（a²+2）=a²+2或（12a⁴-10a²+1）（a²+2）=-（a²+2）；
若（12a⁴-10a²+1）（a²+2）=a²+2，則12a⁴-10a²+1=1，
即解得，a²=0或a²=

5

6

，則有三個a值且都屬于B．
若（12a⁴-10a²+1）（a²+2）=-（a²+2），則12a⁴-10a²+1=-1，
解得，a²=

1

3

或a²=

1

2

，則有四個a值且都屬于B．
則共有7個a值．
集合A∩B的元素個數(shù)是7個．
故答案為：7．

點評：本題考查了函數(shù)的幾何意義求最值，屬于中檔題．