在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若
AB
•
AC
=
BA
•
BC
=k(k∈R且k≠0)．
（Ⅰ）證明△ABC為等腰三角形；
（Ⅱ）若k=2，求c的值．
分析：（I）根據(jù)向量數(shù)量積的定義，化簡題中向量等式得bcosA=acosB，利用正弦定理和兩角差的正弦公式算出sin（A-B）=0，得到A=B從而得a=b，所以△ABC為等腰三角形．
（II）由（I）的結(jié)論，利用余弦定理算出
AB
•
AC
=
c2
2
，結(jié)合k=2得到關(guān)于c的方程，解之即得邊c的長．
解答：解：（I）根據(jù)向量數(shù)量積的定義，得
AB
•
AC
=cbcosA，
BA
•
BC
=cacosB
∵
AB
•
AC
=
BA
•
BC
，
∴cbcosA=cacosB，得bcosA=acosB
利用正弦定理，化簡得sinBcosA=sinAcosB
即sinAcosB-sinBcosA=0，可得sin（A-B）=0…（5分）
∵-π＜A-B＜π，∴A-B=0，得A=B，可得a=b
因此，△ABC為等腰三角形．…（7分）
（II）由（I）的結(jié)論，可得
AB
•
AC
=bccosA=bc•
b2+c2-a2
2bc
=
c2
2
…（10分）
∵k=2，∴
c2
2
=2，解之得c=2…（12分）
點評：本題給出三角形滿足的向量等式，判斷三角形的形狀并依此求邊c的長．著重考查了向量數(shù)量積的定義、余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若b2+c2-a2=
3
bc，且b=
3
a，則下列關(guān)系一定不成立的是（　　）
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B=60°，cos（B+C）=-
1114
．
（1）求cosC的值；
（2）若bcosC+acosB=5，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且bsinA=
3
acosB．
（1）求角B的大��；
（2）若a=4，c=3，D為BC的中點，求△ABC的面積及AD的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c并且滿足
b
a
=
sinB
cosA
．
（1）求∠A的值；
（2）求用角B表示
2
sinB-cosC，并求它的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且a=
5
，b=3，sinC=2sinA，則sinA=
 
．

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