已知銳角△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,邊a、b是方程x2-2
3
x+2=0的兩根,角A、B滿足關(guān)系2sin(A+B)-
3
=0,求角C的度數(shù),邊c的長(zhǎng)度及△ABC的面積.
分析:由已知等式求出sin(A+B)的值,根據(jù)三角形ABC為銳角三角形,確定出A+B及C的度數(shù),再由a、b是方程x2-2
3
x+2=0的兩根,利用韋達(dá)定理求出a+b與ab的值,利用余弦定理列出關(guān)系式,將cosA值代入并利用完全平方公式化簡(jiǎn),把a(bǔ)+b與ab的值代入求出c的值,由ab與sinC的值,利用三角形面積公式即可求出三角形ABC的面積.
解答:解:∵2sin(A+B)-
3
=0,
∴sin(A+B)=
3
2

∵△ABC為銳角三角形,
∴A+B=120°,即C=60°,
∵a、b是方程x2-2
3
x+2=0的兩根,
∴a+b=2
3
,ab=2,
∴由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=12-6=6,
∴c=
6
,S△ABC=
1
2
absinC=
1
2
×2×
3
2
=
3
2
點(diǎn)評(píng):此題考查了余弦定理,三角形的面積公式,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知銳角△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a,b,c,且(b2+c2-a2)tanA=
3
bc

(1)求角A的大;
(2)求sin(A+10°)•[1-
3
tan(A-10°)]
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足(a2+c2-b2)tanB=
3
ac,則角B為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx-
π
6
),(A>0,ω>0,x∈R)
,且f(x)的最小正周期是2π.
(1)求ω及f(0)的值;
(2)已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A、B、C,若f(A+
3
)=
8
5
,f(B+
6
)=-
30
17
,求sinC的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•東莞一模)向量
a
=(
1
2
,
1
2
sinx+
3
2
cosx)
,
b
=(1,y)
,已知
a
b
,且有函數(shù)y=f(x).
(1)求函數(shù)y=f(x)的周期;
(2)已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,若有f(A-
π
3
)=
3
,邊BC=
7
,sinB=
21
7
,求AC的長(zhǎng)及△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•崇明縣二模)已知向量
a
=(sinx,cosx),
b
=(1,
3
),設(shè)函數(shù)f(x)=
a
b

(1)若x∈[0,π],求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知銳角△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊是a、b、c,若有f(A-
π
3
)=
3
,a=
7
,sinB=
21
7
,求c邊的長(zhǎng)度.

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同步練習(xí)冊(cè)答案