Question

一個圓經(jīng)過點F（2，0），且和直線x+2=0相切
（1）求圓心滿足的軌跡方程．
（2）求圓心到直線x-y+5=0的最近距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，圓心到定點F的距離等于它到定直線x+2=0的距離，由此可得圓心的軌跡是以F為焦點、x+2=0為準(zhǔn)線的拋物線，利用拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程加以計算，可得圓心滿足的軌跡方程．
（2）由（1）得圓心的軌跡為拋物線y²=8x，將直線x-y+5=0平移至與y²=8x相切，所得切點到直線x-y+5=0的距離就是圓心到直線x-y+5=0的最近距離．因此求出這條平行切線的方程，再利用兩條平行線的距離公式加以計算，即可得到圓心到直線x-y+5=0的最近距離．

解答：解：（1）設(shè)圓心為C（x，y），
∵點C到點F（2，0）的距離與到定直線x+2=0即x=-2的距離相等，
∴圓心C的軌跡是以F（2，0）為焦點、x=-2為準(zhǔn)線的拋物線，
設(shè)拋物線方程為y²=2px（P＞0），可得

p

2

=2，得p=4，
∴拋物線方程為y²=8x，即為所求圓心的軌跡方程．
（2）∵圓心在拋物線y²=8x上，
∴將直線x-y+5=0平移，使平移后的直線與y²=8x相切，切點到直線x-y+5=0的距離最近．
設(shè)此平行切線的方程為x-y+c=0，
由

x-y+c=0 y2=2px

，消去x得：y²-8y+8c=0，
可得△=（-8）²-4×8c=0，解之得c=2，
∴切線方程為x-y+2=0，切點到直線x-y+5=0的距離為d，
則d=

|5-2|

2

=

3

2

2

，即為圓心到直線x-y+5=0的最近距離．

點評：本題給出動圓滿足的條件，求圓心的軌跡方程并求圓心到定直線距離的最小值．著重考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和動點軌跡的求法等知識，屬于中檔題．