Question

16．已知p若對任意x＞-1，不等式$\frac{{x}^{2}}{x+1}$≥a恒成立，q：方程ax²-ax+1=0有實數(shù)解．若p且q為假，p或q為真，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 若P真，由題知：對任意x＞-1，$\frac{{x}^{2}}{x+1}$=$\frac{（x+1）^{2}-2（x+1）+1}{x+1}$=（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-2≥0，即可得出a的范圍．若q真，則$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{△≥0}\end{array}\right.$，解得a范圍．由p且q為假，p或q為真，得p，q中必有一真一假．

解答 解：若P真，由題知：對任意x＞-1，$\frac{{x}^{2}}{x+1}$=$\frac{（x+1）^{2}-2（x+1）+1}{x+1}$=（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-2≥0，∴a≤0．
若q真，則$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{△≥0}\end{array}\right.$，解得a＜0或a≥4．
由p且q為假，p或q為真，得p，q中必有一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤0}\\{0≤a＜4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＜0或a≥4}\end{array}\right.$，
解得a=0，或a≥4．
綜上所述，a的取值范圍是a=0或a≥4．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、不等式的解法、一元二次方程有實數(shù)根的條件、簡易邏輯的判斷方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．