Question

有編號為1，2，3，…，n的n名學(xué)生，入坐編號為1，2，3，…，n的n個座位，規(guī)定每個學(xué)生可隨機坐一個座位，記學(xué)生所坐的座位編號與該生的編號不同的學(xué)生數(shù)為X，若當(dāng)X=2時，共有6種坐法．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求2號學(xué)生未坐2號座位且4號學(xué)生入坐4號座位的概率；
（Ⅲ）求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）根據(jù)X=2時，共有6種坐法，寫出關(guān)于n的表示式，解出未知量，把不合題意的舍去．
（Ⅱ）利用古典概型概率公式求解；
（Ⅲ）X的可能取值是0，2，3，4，理解變量對應(yīng)的事件，求出相應(yīng)的概率，可求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）∵當(dāng)X=2時，有C_n²種坐法，
∴C_n²=6，
即

n(n-1)

2

=6，
∴n²-n-12=0，
∴n=4或n=-3（舍去），
∴n=4． …（3分）
（Ⅱ）記“2號學(xué)生未坐2號座位且4號學(xué)生入坐4號座位”為事件A．
4名學(xué)生隨機入座4個座位共有

A

4 4

=24種等可能性結(jié)果，而事件A包含其中

C

1 2

A

2 2

=4種結(jié)果，
故P（A）=

4

24

=

1

6

  …（7分）
（Ⅲ）X的所有可能取值為：0，2，3，4，
當(dāng)變量是0時表示學(xué)生所坐的座位號與該生的編號都相同，
當(dāng)變量是2時表示學(xué)生所坐的座位號與該生的編號有2個相同，
當(dāng)變量是3時表示學(xué)生所坐的座位號與該生的編號有1個相同，
當(dāng)變量是4時表示學(xué)生所坐的座位號與該生的編號有0個相同，
則P（X=0）=

1

24

，P（X=2）=

C 2 4 ×1

A 4 4

=

6

24

，P（X=3）=

C 3 4 ×2

A 4 4

=

8

24

，P（X=4）=

9

24

故EX=0×

1

24

+2×

6

24

+3×

8

24

+4×

9

24

=3．  …（12分）

點評：本題考查運用概率知識解決實際問題的能力，考查了離散型隨機變量的分布列和期望，解題時要認(rèn)真審題，仔細解答，注意概率計算公式的合理運用．屬中檔題．