Question

設(shè)b＞0，數(shù)列{a_n}滿足a₁=b，a_n=（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，a_n≤+1．

Answer 1

解：（1）由題意知：
，
∴，
設(shè)，則
設(shè)，則，
當(dāng)b=2時(shí)，，
∴為首項(xiàng)是，公差是的等差數(shù)列．
∴a_n=2．
當(dāng)b≠2時(shí)，
令，∴，
∴，
∴是等比數(shù)列．
∴，
又∵，
∴，
∴．
綜上可知：
當(dāng)b=2時(shí)，a_n=2．
當(dāng)b≠2時(shí)，
（2）當(dāng)b=2時(shí)，由（1）知命題顯然成立；
當(dāng)b≠2時(shí)，
∵
…

將以上n個(gè)式子相加得：
b²ⁿ+b^2n-1•2+…+bⁿ⁺¹•2^n-1+b^n-1•2ⁿ⁺¹+…+b•2^2n-1+2²ⁿ＞n•2ⁿ⁺¹•bⁿ
∴

=
=
=．
綜上可知：
．
分析：（1）首先要根據(jù)條件變形遞推公式得：，然后通過換元的方法分析得數(shù)列是等比數(shù)列，其中．從而可以求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）首先要利用基本不等式獲得b²ⁿ+b^2n-1•2+…+bⁿ⁺¹•2^n-1+b^n-1•2ⁿ⁺¹+…+b•2^2n-1+2²ⁿ≥n•2ⁿ⁺¹•bⁿ，然后對(duì)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式變形然后利用所獲得的不等式放縮化簡(jiǎn)即可獲得問題的解答．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)列的遞推公式問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想、換元的思想、基本不等式的利用以及放縮法．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．