Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，AC=4，∠BAC=90°，D是AB的中點．
（Ⅰ）求證：AC₁∥平面B₁DC；
（Ⅱ）求二面角B₁-DC-B的余弦值；
（Ⅲ）試問線段A₁C₁上是否存在點E，使得CE與DB₁成60°角？若存在，求線段CE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面B₁DC的法向量，證明，即可證明AC₁∥平面B₁DC；
（Ⅱ）求出平面BDC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角B₁-DC-B的余弦值；
（Ⅲ）假設(shè)線段A₁C₁上存在點E，利用CE與DB₁成60°角，結(jié)合向量的夾角公式，求出向量的坐標(biāo)，即可求得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A₁（0，0，2），
B₁（2，0，2），C₁（0，4，2），D（1，0，10），…（2分）
則=（1，0，2），=（1，-4，0）
設(shè)平面B₁DC的法向量為=（x，y，z），則，即
取y=1，得=（4，1，-2），…（3分）
∵=（0，4，2），
∴，
∴，
∴AC₁∥平面B₁DC；．…（4分）
（Ⅱ）解：設(shè)平面BDC的法向量=（0，0，1），二面角B₁-DC-B的大小為θ，
則cosθ=|cos＜＞===，
所以二面角B₁-DC-B的余弦值為．…（8分）
（Ⅲ）解：假設(shè)線段A₁C₁上存在點E（0，y，2），（0＜y＜4），則=（0，y-4，2），…（9分）
∵|cos＜＞|=，…（10分）
∴cos60°=，
整理得5y²-40y+36=0，∴
∵0＜y＜4，∴，…（12分）
∴=（0，-，2），
∴=．…（13分）
點評：本題考查線面平行，考查面面角，考查向量模的計算，考查空間向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．