Question

如左圖所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E、F分別是邊AD和BC上的點(diǎn)，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，將四邊形EFCD沿EF折起使AE=AD，如右圖所示．
（1）求證：AF∥平面CBD；
（2）求三棱錐C-ABF的體積．

Answer 1

分析：（1）在平面CBD內(nèi)找一條直線與AF平行即可．
（2）求三棱錐的體積，可以先求出底面的面積和高，再代入三棱錐的條件公式計(jì)算即可，也可以靈活運(yùn)用等體積轉(zhuǎn)化法來計(jì)算．

解答：解：（1）因?yàn)镃F∥DE，CF=

1

2

DE，所以延長(zhǎng)DC，EF會(huì)相交，如圖所示，
設(shè)DC∩EF=G，連接BG，則FG=EF．所以GF∥AB．GF=AB，
所以四邊形ABGF是平行四邊形．
所以AF∥BG，又BG?平面CBD，
所以AF∥平面CBD．
（2）因?yàn)锳D=AE=DE=2，所以∠DEA=60^?，
因?yàn)镃F∥DE，BF∥AE，
所以∠CFB=∠DEA=60^?，
又FB=AE=2，F(xiàn)C=1，
所以S△CFB=

1

2

FB×CF×sin?60?=

3

2

，
又EF⊥BF，EF⊥CF，所以EF⊥平面CBF．
又AB∥EF，所以AB⊥平面CBF，
所以VC-ABF=VA-CBF=

1

3

S△CFB×AB=

1

3

×

3

2

×2=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間立體幾何中的線面平行的判定以及空間幾何體的體積，要求熟練掌握空間線面平行的判定定理和性質(zhì)定理．