Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x，g（x）=mx+2，h（x）=f（x）+g（x）
（1）解關(guān)于x的不等式h（x）＞0；
（2）若函數(shù)h（x）在區(qū)間[0，2]的最大值為-4，求實(shí)數(shù)m；
（3）若?x₁∈[-1，2]，?x₀∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₀）．求實(shí)數(shù)m取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）原不等式等價(jià)于x²+（m-2）x+2＞0，運(yùn)用二次函數(shù)與不等式的關(guān)系求解．
（2）函數(shù)h（x）=x²+（m-2）x+2，其對(duì)稱(chēng)軸為x=

2-m

2

，分類(lèi)討論求解．
（3）當(dāng)x₀∈[-1，2]時(shí)，f（x₀）∈[-1，3]，分類(lèi)討論m＞0，若m＜0，求解即可．

解答： 解：（1）原不等式等價(jià)于x²+（m-2）x+2＞0
判別式為△=（m-2）²-8
如果△＜0，即2-

2

＜m＜2+

2

時(shí)，不等式解集為R；
如果△≥0，即m≥2+

2

或m≤2-

2

時(shí)，
相應(yīng)方程的兩個(gè)根分別為x1=

(2-m)- m2-4m-4

2

，x2=

(2-m)+ m2-4m-4

2

而x₂＞x₁，所以此時(shí)的解集為x∈（-∞，x₁）∪（x₂，+∞）
綜上所述：
當(dāng)2-

2

＜m＜2+

2

時(shí)，不等式解集為R；
當(dāng)m≥2+

2

或m≤2-

2

時(shí)，解集為x∈（-∞，x₁）∪（x₂，+∞）．
（2）函數(shù)h（x）=x²+（m-2）x+2，其對(duì)稱(chēng)軸為x=

2-m

2

若

2-m

2

＞1，即m＞0時(shí)，h（x）_max=h（0）=2≠4；
若

2-m

2

≤1，即m≤0時(shí)，h（x）_max=h（2）=2m+2，
令2m+2=-4，則m=-3，符合要求．
所以m=-3．
（3）當(dāng)x₀∈[-1，2]時(shí)，f（x₀）∈[-1，3]
若m＞0，則

g(-1)=-m+≥-1 g(2)=2m+2≤3

⇒0＜m≤

1

2

；
若m＜0，則

g(-1)=-m+2≤3 g(2)=2m+2≥-1

⇒m≥-1；
若m=0，顯然成立．
綜上，-1≤m≤

1

2

，

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，分類(lèi)討論等思想，屬于中檔題，難度較大，關(guān)鍵是解題思路要清晰．