已知雙曲線-=1的離心率e>1+,左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為l,能否在雙曲線的左支上找一點(diǎn)P,使得|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項(xiàng)?
【答案】分析:設(shè)左支上存在P點(diǎn),由雙曲線的第二定義知|PF2|=e|PF1|,再由雙曲線的第一定義,得|PF2|-|PF1|=2a由此推導(dǎo)出e2-2e-1≤0,解得1<e≤1+與已知e>1+矛盾.從而斷定在雙曲線左支上找不到點(diǎn)P,使得|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項(xiàng).
解答:解:設(shè)在左支上存在P點(diǎn),使|PF1|2=|PF2|•d,由雙曲線的第二定義知
==e,即|PF2|=e|PF1|①
再由雙曲線的第一定義,得|PF2|-|PF1|=2a.②
由①②,解得|PF1|=,|PF2|=,
∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,
+≥2c.③
利用e=,由③得e2-2e-1≤0,
解得1-≤e≤1+
∵e>1,
∴1<e≤1+與已知e>1+矛盾.
∴在雙曲線左支上找不到點(diǎn)P,使得|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項(xiàng).
點(diǎn)評:本題是雙曲線的綜合題,綜合利用雙曲線的第一定義和第二定義求解,在解題時要注意反證法的運(yùn)用.
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