Question

6．已知二次函數(shù)h（x）=ax²+bx+c（c＜4），其導(dǎo)函數(shù)y=h'（x）的圖象如圖所示，函數(shù)f（x）=8lnx+h（x）．
（1）求a，b的值； 
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+$\frac{1}{2}$）上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若對任意k∈[-1，1]，x∈（0，8]，不等式（k+1）x≥f（x）恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)函數(shù)y=h′（x）的圖象確定a，b的值即可；
（2）要使求函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+$\frac{1}{2}$）上是單調(diào)增函數(shù)，則f'（x）的符號沒有變化，可以求得實數(shù)m的取值范圍；
（3）函數(shù)y=kx的圖象總在函數(shù)y=f（x）圖象的上方得到kx大于等于f（x），列出不等式，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值即可得到c的范圍．

解答 解：（1）二次函數(shù)h（x）=ax²+bx+c的導(dǎo)數(shù)為：
y=h′（x）=2ax+b，由導(dǎo)函數(shù)y=h′（x）的圖象可知，
導(dǎo)函數(shù)y=h′（x）過點（5，0）和（0，-10），
代入h′（x）=2ax+b得：
b=-10，a=1；
（2）由（1）得：h（x）=x²-10x+c，h′（x）=2x-10，
f（x）=8lnx+h（x）=8lnx+x²-10x+c，
f′（x）=$\frac{8}{x}$+2x-10=$\frac{2（x-1）（x-4）}{x}$，
當(dāng)x變化時 

	（0，1）	1	（1，4）	4	（4，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）和（4，+∞）．
單調(diào)遞減區(qū)間為（1，4），
若函數(shù)在（m，m+$\frac{1}{2}$）上是單調(diào)遞增函數(shù)，則有 $\left\{\begin{array}{l}{m≥0}\\{m+\frac{1}{2}≤1}\end{array}\right.$或者m≥4，解得0≤m≤$\frac{1}{2}$或m≥4；
故m的范圍是：[0，$\frac{1}{2}$]∪[4，+∞）．
（3）若對任意k∈[-1，1]，x∈（0，8]，不等式（k+1）x≥f（x）恒成立，
即對k=-1時，x∈（0，8]，不等式c≤-x²-8lnx+10x恒成立，
設(shè)g（x）=-x²-8lnx+10x，x∈（0，8]，
則g′（x）=$\frac{-2（x-1）（x-4）}{x}$，x∈（0，8]，
令g′（x）＞0，解得：1＜x＜4，令g′（x）＜0，解得：4＜x≤8或0＜x＜1，
故g（x）在（0，1）遞減，在（1，4）遞增，在（4，8]遞減，
故g（x）的最小值是g（1）或g（8），
而g（1）=9，g（8）=16-24ln3＜4＜9，c＜4，
故c≤g（x）_min=g（8）=16-24ln3，
即c的取值范圍是（-∞，16-24ln3]．

點評 本題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．綜合性較強，難度較強．