Question

3．銳角△ABC中，已知$a=\sqrt{3}，A=\frac{π}{3}$，則b²+c²+3bc的取值范圍是（　�。�

• A． （5，15]
• B． （7，15]
• C． （7，11]
• D． （11，15]

Answer 1

分析 由正弦定理可得，$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，結(jié)合已知可先表示b，c，然后由△ABC為銳角三角形及B+C=120°可求B的范圍，再把所求的bc用sinB，cosB表示，利用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)后，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求bc的范圍，由余弦定理可得b²+c²+3bc=4bc+3，從而可求范圍．

解答 解：由正弦定理可得，$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∵△ABC為銳角三角形，
∴0°＜B＜90°，0°＜C＜90°且B+C=120°，
∴30°＜B＜90°
∵bc=4sinBsin（120°-B）=4sinB（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB）
=2$\sqrt{3}$sinBcosB+2sin²B=$\sqrt{3}$sin2B+（1-cos2B）=2sin（2B-30°）+1，
∵30°＜B＜90°，
∴30°＜2B-30°＜150°，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（2B-30°）≤1，
∴2＜2sin（2B-30°）+1≤4，
即2＜bc≤3，
∵$a=\sqrt{3}，A=\frac{π}{3}$，由余弦定理可得：3=b²+c²-bc，可得：b²+c²=bc+3，
∴b²+c²+3bc=4bc+3∈（11，15]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了正弦定理和面積公式及兩角和與差的正弦、余弦公式及輔助角公式的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本公式并能靈活應(yīng)用，屬于中檔題．