Question

15．過橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的右焦點作直線l與橢圓交于A，B兩點，弦長|AB|=$\frac{5}{3}$$\sqrt{5}$，則直線l的斜率為±2．

Answer 1

分析 求得橢圓的a，b，c，e，以及右準線方程，設(shè)出直線AB的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，計算即可得到斜率．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的a=$\sqrt{5}$，b=2，c=1，e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
右焦點為（1，0），右準線的方程為x=5，
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），
代入橢圓方程可得，（4+5k²）x²-10k²x+5k²-20=0，
即有x₁+x₂=$\frac{10{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}$，
由橢圓的第二定義可得，|AB|=a-ex₁+a-ex₂
=2a-e（x₁+x₂）=2$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$•$\frac{10{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}$=$\frac{5}{3}$$\sqrt{5}$
解得k=±2．
故答案為：±2．

點評 本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查弦長公式，注意運用韋達定理和橢圓的第二定義，考查運算能力，屬于中檔題．