如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是矩形，且平面平面，，．

(Ⅰ)若點是的中點，求證：平面；
（II）試問點在線段上什么位置時，二面角的余弦值為.

（Ⅰ）見解析；
（II）當點在線段的中點時，二面角的余弦值為.

解析試題分析：（Ⅰ）通過連接，應用三角形的中位線定理得到證明得到 面．
（II）利用空間直角坐標系，確定平面的一個法向量，而平面的法向量，得到，確定出點在線段的中點時，二面角的余弦值為.解答此類問題，要注意發(fā)現(xiàn)垂直關系，建立適當?shù)刂苯亲鴺讼�，以簡化解題過程.
試題解析：（Ⅰ）證明：連接，設，連接，
由三角形的中位線定理可得：，
∵平面，平面，∴平面．
（II）建立如圖空間直角坐標系，

在中，斜邊,得，所以，.
設，得.
設平面的一個法向量，由得，
取，得.
而平面的法向量，所以由題意，即，
解得（舍去）或，所以，當點在線段的中點時，二面角的余弦值為.
考點：1、平行關系；2、空間向量的應用；3、二面角的計算.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在長方體，中，，點在棱AB上移動.

（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求點到平面的距離；
（Ⅲ）等于何值時，二面角的大小為

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（如圖1）在平面四邊形中，為中點，，，且，現(xiàn)沿折起使，得到立體圖形（如圖2），又B為平面ADC內一點，并且ABCD為正方形，設F，G，H分別為PB，EB，PC的中點.

（1）求三棱錐的體積；
（2）在線段PC上是否存在一點M，使直線與直線所成角為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，棱長AB=1.

（Ⅰ）求異面直線A1B與 B1C所成角的大�。唬á颍┣笞C：平面A1BD∥平面B1CD1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，為平行四邊形，且，，為的中點，，．

（Ⅰ）求證：//；
（Ⅱ）求三棱錐的高．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD為平行四邊形，其中AB＝， BD＝BC＝1， AA1＝2，E為DC的中點，F(xiàn)是棱DD1上的動點．

(1)求異面直線AD1與BE所成角的正切值；
(2)當DF為何值時，EF與BC1所成的角為90°？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，平面，四邊形是矩形，，M,N分別是AB,PC的中點，

（1）求平面和平面所成二面角的大小，
（2）求證：平面
（3）當的長度變化時，求異面直線PC與AD所成角的可能范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，分別是的中點.

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（12分）如圖,在長方體中，，點E為AB的中點.

（Ⅰ）求與平面所成的角；
（Ⅱ）求二面角的平面角的正切值．

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