Question

已知M是直角坐標(biāo)系xOy中第一象限內(nèi)的一動點,定點F₁(-5,0)、F₂(5,0).

(1)若|+|=10,求點M的軌跡方程;

(2)若·=5,且點M又在雙曲線xy=k(k＞0)上,求k的取值范圍.

Answer 1

思路解析:此題主要考查向量模的運算、數(shù)量積的求法及字母取值范圍的求法.(2)中求k的范圍主要應(yīng)用兩曲線相交,組成方程組消去一個未知數(shù)后的一元二次方程有解的條件Δ≥0進(jìn)行求解.

解:(1)設(shè)M(x,y),則=(-5-x,-y),=(5-x,-y),

∴+=(-2x,-2y).

∴|+|==10.

∴x²+y²=25(x＞0,y＞0).

(2)∵·=5,

∴(-5-x)(5-x)+(-y)(-y)=5.

∴x²+y²=30.

又∵M(jìn)在雙曲線xy=k上,∴將x=代入x²+y²=30得y⁴-30y²+k²=0.

∵方程有解,

∴Δ=900-4k²≥0.

∴k≤15.

又∵M(jìn)在第一象限,

∴0＜k≤15.