19.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,其中常數(shù)a,b,c∈R.
(1)若f(3)=f(-1)=-5,且f(x)的最大值是3,求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)a=1,若對任意的x1,x2∈[-1,1],有|f(x1)-f(x2)|≤4,求b的取值范圍.

分析 (1)結合題意得到關于a,b,c的方程組,解出即可;
(2)若對任意的x1,x2∈[-1,1],有|f(x1)-f(x2)|≤4,f(x)max-f(x)min≤4,結合二次函數(shù)的圖象和性質分類討論,可得實數(shù)b的取值范圍.

解答 解:(1)由題意得:$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=-5}\\{a-b+c=-5}\\{\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}=3}\end{array}\right.$,
解得:a=-2,b=4,c=1,
∴f(x)=-2x2+4x+1;
(2)函數(shù)f(x)=x2+bx+c對任意的x1,x2∈[-1,1],有|f(x1)-f(x2)|≤4恒成立,
即f(x)max-f(x)min≤4,
記f(x)max-f(x)min=M,則M≤4.
當|-$\frac{2}$|>1,即|b|>2時,M=|f(1)-f(-1)|=|2b|>4,與M≤4矛盾;
當|-$\frac{2}$|≤1,即|b|≤2時,M=max{f(1),f(-1)}-f(-$\frac{2}$)=$\frac{f(1)+f(-1)+|f(1)-f(-1)|}{2}$-f(-$\frac{2}$)=(1+$\frac{|b|}{2}$)2≤4,
解得:|b|≤2,
即-2≤b≤2,
綜上,b的取值范圍為-2≤b≤2.

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質,熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質是解答的關鍵.

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