Question

設(shè)z∈C，且是

z

z-1

純虛數(shù)，求|z+i|的最大值．

Answer 1

分析：設(shè)z=x+yi，根據(jù)

z

z-1

=

x2+y2-x

(x-1)2+y2

+

y

(x-1)2+y2

i 是純虛數(shù)，可得 (x-

1

2

)2+y²=

1

4

（y≠0），表示以C（

1

2

，0）為圓心，以r=

1

2

為半徑的圓上（除去圓與x軸的2個(gè)交點(diǎn)）．而|z+i|表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)A（0，-1）之間的距離，求得AC的值，則|z+i|的最大值為AC+r，運(yùn)算可得結(jié)果．

解答：解：設(shè)z=x+yi，x、y∈R，由于

z

z-1

=

x+yi

x-1+yi

=

(x+yi)(x-1-yi)

(x-1+yi)(x-1-yi)

=

x2+y2-x

(x-1)2+y2

+

y

(x-1)2+y2

i 是純虛數(shù)，
故有

x2+y2-x=0 y≠0

，即 (x-

1

2

)2+y²=

1

4

 （y≠0），表示以C（

1

2

，0）為圓心，以r=

1

2

為半徑的圓上（除去圓與x軸的2個(gè)交點(diǎn)）．
而|z+i|表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)A（0，-1）之間的距離，求得AC=

1 4 +1

=

5

2

，
故|z+i|的最大值為AC+r=

1+ 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，兩個(gè)復(fù)數(shù)差的絕對(duì)值的幾何意義，求復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題．