Question

設z∈C，且是

z

z-1

純虛數(shù)，求|z+i|的最大值．

Answer 1

分析：設z=x+yi，根據(jù)

z

z-1

=

x2+y2-x

(x-1)2+y2

+

y

(x-1)2+y2

i 是純虛數(shù)，可得 (x-

1

2

)2+y²=

1

4

（y≠0），表示以C（

1

2

，0）為圓心，以r=

1

2

為半徑的圓上（除去圓與x軸的2個交點）．而|z+i|表示圓上的點與點A（0，-1）之間的距離，求得AC的值，則|z+i|的最大值為AC+r，運算可得結果．

解答：解：設z=x+yi，x、y∈R，由于

z

z-1

=

x+yi

x-1+yi

=

(x+yi)(x-1-yi)

(x-1+yi)(x-1-yi)

=

x2+y2-x

(x-1)2+y2

+

y

(x-1)2+y2

i 是純虛數(shù)，
故有

x2+y2-x=0 y≠0

，即 (x-

1

2

)2+y²=

1

4

 （y≠0），表示以C（

1

2

，0）為圓心，以r=

1

2

為半徑的圓上（除去圓與x軸的2個交點）．
而|z+i|表示圓上的點與點A（0，-1）之間的距離，求得AC=

1 4 +1

=

5

2

，
故|z+i|的最大值為AC+r=

1+ 5

2

．

點評：本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的混合運算，復數(shù)與復平面內(nèi)對應點之間的關系，兩個復數(shù)差的絕對值的幾何意義，求復數(shù)的模，屬于基礎題．