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已知關于x的方程數學公式在(-3π,0)∪(0,3π)內有且僅有4個根,從小到大依次為x1,x2,x3,x4
(1)求證:x4=tanx4.
(2)是否存在常數k,使得x2,x3,x4成等差數列?若存在求出k的值,否則說明理由.

解:(1)由原方程得sinx=kx(x≠0),
設函數f(x)=sinx,g(x)=kx(x≠0),它們的圖象如圖所示:
方程得sinx=kx(x≠0)在(-3π,0)∪(0,3π)內有
且僅有4個根,x4必是函數g(x)=kx與f(x)=sinx,
內相切時切點的橫坐標,
即切點為(x4,sinx4),g(x)=kx是f(x)=sinx的切線.
由f'(x)=cosx,∴k=cosx4,又∵sinx4=kx4,于是x4=tanx4

(2)由題設知x2=-x3,又x2,x3,x4成等差數列,得2x3=x2+x4,∴
由sinx3=kx3,得,即
由題設,得,
,有,即,與sinx4<1矛盾
故不存在常數k使得x2,x3,x4成等差數列.
分析:將方程根的問題轉化為圖象的交點問題,先畫圖(如下),再觀察交點個數即得.
點評:數形結合是重要的數學思想,以形助數,直觀簡捷,從而利用函數圖象可以進一步發(fā)現(xiàn)函數性質,并能利用函數圖象解決實際問題.
練習冊系列答案
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A.[0,]
B.
C.
D.[-1,0]

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