Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，H是正方形AA₁B₁B的中心，AA₁=2，C₁H⊥平面AA₁B₁B，且C₁H=，
（Ⅰ）求異面直線AC與A₁B₁所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C₁-B₁的正弦值；
（Ⅲ）設(shè)N為棱B₁C₁的中點(diǎn)，點(diǎn)M在平面AA₁B₁B內(nèi)，且MN⊥平面A₁B₁C，求線段BM的長(zhǎng)．

Answer 1

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)， 依題意，得， ，  （Ⅰ）易得， 于是， 所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為。 （Ⅱ）易知， 設(shè)平面AA1C1的法向量， 則，即， 不妨令，可得， 同樣地，設(shè)平面A1B1C1的法向量， 則，即， 不妨令，可得， 于是， 從而， 所以二面角A-A1C1-B1的正弦值為。 （Ⅲ）由N為棱B1C1的中點(diǎn)，得， 設(shè)M（a，b，0），則， 由MN⊥平面A1B1C1， 得， 即， 解得，故， 因此， 所以線段BM的長(zhǎng)為。