Question

某化肥廠從今年1月起，若不改善生產(chǎn)環(huán)境，按現(xiàn)狀生產(chǎn)，每月收入為70萬元，同時還將受到環(huán)保部門的處罰，第1個月罰1萬元，以后逐月遞增2萬元．如果從今年1月起投資400萬元增加回收凈化設(shè)備（改造設(shè)備時間不計），一方面可以改善環(huán)境，免去環(huán)保部門的處罰，另一方面也可降低原料成本，據(jù)測算，投產(chǎn)后的前5個月中的累計收入y（萬元）是生產(chǎn)時間n（以月為單位）的二次函數(shù)．生產(chǎn)前1、前2、前3個月的累計收入分別可達(dá)101萬元、204萬元和309萬元，以后每個月的收入穩(wěn)定在第5個月的水平．
（I）求投資改造設(shè)備后，累計收入y與生產(chǎn)時間n的函數(shù)表達(dá)式；
（II）至少經(jīng)過多少個月，投資改造設(shè)備后的純收入多于不改造設(shè)備時的純收入？

Answer 1

本小題滿分．
（I）解：設(shè)y=an²+bn+c（n≤5，n∈N）．
．
∴y=n²+100n（n≤5，n∈N）．…
當(dāng)n＞5，n∈N時，
y=525+（n-5）[525-416]=109n-20．…
…
（II）解：改造設(shè)備后前5個月的純收入：5²+100×5-400=125，
不改造設(shè)備前5個月的純收入：70×5-[1+3+5+7+9]=325，
∵125＜325，
∴5個月內(nèi)投資不能見成效，…
當(dāng)n＞5，n∈N時，
，
化簡，得n²+39n-420＞0，…
當(dāng)5＜n≤8時，n²+39n-420＜0，
當(dāng)n≥9時，n²+39n-420＞0．
即至少經(jīng)過9個月，投資改造設(shè)備后的純收入才能多于不改造設(shè)備時的純收入．…
分析：（I）根據(jù)投產(chǎn)后的前5個月中的累計收入y（萬元）是生產(chǎn)時間n（以月為單位）的二次函數(shù)可利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，以后累計收入成等差數(shù)列，從而求出投資改造設(shè)備后，累計收入y與生產(chǎn)時間n的函數(shù)表達(dá)式；
（II）先比較改造設(shè)備后前5個月的純收入與不改造設(shè)備前5個月的純收入可知5個月內(nèi)投資不能見成效，然后根據(jù)投資改造設(shè)備后的純收入多于不改造設(shè)備時的純收入建立關(guān)系式，解之即可．
點(diǎn)評：本題主要考查的知識點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法，以及函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，同時考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．