Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=-f（x+

3

2

），且f（0）=1，則f（2010）=

1

．

Answer 1

分析：由已知f（x）=-f（x+

3

2

）可得，f（x+3）=-f（x+

3

2

）=f（x），∴3是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期，從而利用周期性可求得f（2010）的值．

解答：解：由已知可得，f（x+

3

2

）=-f（x），
∴f（x+3）=f（（x+

3

2

）+

3

2

）=-f（x+

3

2

）=-[-f（x）]=f（x）．
∴3是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期．
∴f（2010）=f（670×3+0）=f（0），
又f（0）=1，
∴f（2010）=1．
故答案為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的周期性及其應(yīng)用，準(zhǔn)確理解周期性的定義是解題的關(guān)鍵．若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+m）=-f（x）（m≠0），則2m為函數(shù)f（x）的一個(gè)周期．