已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓G上，且PF1⊥F1F2，且|PF1|=
2
3
3
，|PF2|=
10
3
3
，斜率為1的直線l與橢圓G交與A、B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（-3，2）．
（1）求橢圓G的方程；
（2）求△PAB的面積．
（1）∵橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓G上，
且PF1⊥F1F2，且|PF1|=
2
3
3
，|PF2|=
10
3
3
，
∴|F1F2|=
100
3
-
4
3
=4
2
，∴c=2
2
，
2a=|PF1|+|PF2|=4
3
，∴a=2
3
，
又∵b2=a2-c2=4，
所以橢圓G的方程為
x2
12
+
y2
4
=1．
（2）設(shè)直線l的方程為y=x+m．
由
y=x+m
x2 
12
+
y2 
4
=1
，得4
x2 
+6mx+3
m2 
-12=0．
設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），
AB中點(diǎn)為E（x0，y0），
則x0=
x1+x2
2
=-
3m
4
，y0=x0+m=
m
4
，
因?yàn)锳B是等腰△PAB的底邊，所以PE⊥AB．
所以PE的斜率k=
2-
m
4
-3+
3m
4
=-1．
解得m=2．
此時(shí)方程①為4
x2 
+12x=0．解得x1=-3，x2=0．
所以y1=-1，y2=2．所以|AB|=3
2
．
此時(shí)，點(diǎn)P（-3，2）到直線AB：x-y+2=0的距離d=
|-3-2+2|
2
=
3
2
2
，
所以△PAB的面積S=
1
2
|AB|•d=
9
2
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，右焦點(diǎn)為 （2
2
，0）．斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（-3，2）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，且右頂點(diǎn)為A（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（0，2）的直線l與橢圓G交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•順義區(qū)二模）已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
2
2
，點(diǎn)F（1，0）為橢圓的右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）過右焦點(diǎn)F作斜率為k的直線l與橢圓G交于M、N兩點(diǎn)，若在x軸上存在著動(dòng)點(diǎn)P（m，0），使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，試求出m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•順義區(qū)一模）已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的離心率為
2
2
，⊙M過橢圓G的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，圓心M在此橢圓上，則滿足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•順義區(qū)二模）已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓G的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓G上，且△PF1F2的周長(zhǎng)為4+4
2
．
（Ⅰ）求橢圓G的方程
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn)，若
OA
⊥
OB
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：直線l與圓x2+y2=
8
3
相切．

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