Question

已知f（x）=sinx+2x，x∈[-

π

2

，

π

2

]，且f（1+a）+f（2a）＜0，則a的取值范圍是

[-

π

4

，-

1

3

）

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，證出f（x）在其定義域[-

π

2

，

π

2

]上是奇函數(shù)，從而將不等式f（1+a）+f（2a）＜0化成f（1+a）＞f（-2a）．再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，可得函數(shù)f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上是增函數(shù)，由此建立關于a的不等式，解之即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵f（-x）=-sinx-2x=-f（x），
∴函數(shù)f（x）在其定義域[-

π

2

，

π

2

]上是奇函數(shù)
因此，不等式f（1+a）+f（2a）＜0可化成f（1+a）＜-f（2a）
即f（1+a）＞f（-2a），
∵函數(shù)f（x）=sinx+2x，求導數(shù)得f'（x）=cosx+2＞0
∴函數(shù)f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上是增函數(shù)
由此可得原不等式等價于

- π 2 ≤1+a≤ π 2 - π 2 ≤-2a≤ π 2 1+a＜-2a

，解之得-

π

4

≤a＜-

1

3

即實數(shù)a的取值范圍為[-

π

4

，-

1

3

）
故答案為：[-

π

4

，-

1

3

）

點評：本題給出含有正弦與一次式的基本初等函數(shù)，在已知單調性和奇偶性的前提下求解關于a的不等式，著重考查了函數(shù)的單調性、奇偶性等基本性質和不等式的解法等知識點，屬于中檔題．