Question

如圖所示，直角梯形ACDE與等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求AC與平面EBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）取BD的中點(diǎn)P，連接EP，F(xiàn)P，則利用中位線的性質(zhì)，可知四邊形AFPE是平行四邊形，由此能夠證明AF∥面BDE．
（Ⅱ）利用等體積，求出A到平面EBC的距離為d，即可求得AC與平面EBC所成角的正弦值．
解答：（Ⅰ）證明：取BD的中點(diǎn)P，連接EP、FP，則FP∥DC且FP=DC，
又∵EA∥DC且EA∥DC，∴EA∥FP且EA=FP，
∴四邊形AFPE是平行四邊形，∴AF∥EP，
又∵EP?面BDE且AF?面BDE，
∴AF∥面BDE．
（Ⅱ）解：過A作AH⊥平面EBC，連接HB，則∠ABH為AC與平面EBC所成角
設(shè)A到平面EBC的距離為d，則
在△EBC中，EC=EB=，BC=2，∴=
由V_E-ABC=V_A-EBC可得
∴d=
∴AC與平面EBC所成角的正弦值為．
點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查線面角，掌握線面平行的判定方法，正確求出點(diǎn)到面的距離是關(guān)鍵．