Question

（2013•寧德模擬）已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，丨φ丨＜

π

2

）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N是圖象與x軸的交點(diǎn)，P是圖象與y軸的交點(diǎn)，PM=2PN=

7

，cos∠MPN=

7

14

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=f（x）+f（-x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）△PMN中，由余弦定理求得MN的值，再根據(jù)△PMN的面積等于

1

2

•MN•OP=

1

2

•PM•PN•sin∠MPN，求得OP的值，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（Ⅱ）根據(jù)周期性求得ω的值，再根據(jù)點(diǎn)P在f（x）=2sin（ωx+φ）的圖象上，求得φ的值，可得函數(shù)f（x）的解析式，從而求得函數(shù)g（x）=f（x）+f（-x）的解析式．再根據(jù)g（x）的解析式求得它的單調(diào)減區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）△PMN中，由余弦定理可得 MN²=PM²+PN²-2PM•PN•cos∠MPN=4+7-2×2×

7

×

7

14

=9，∴MN=3．
∴周期等于2MN=6．
由于△PMN的面積等于

1

2

•MN•OP=

1

2

•PM•PN•sin∠MPN，∴

1

2

×3×OP=

1

2

×2×

7

×

7

14

，∴OP=

3

，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，

3

）．
（Ⅱ）根據(jù)MN=

1

2

×

2π

ω

=3，ω=

π

3

．再根據(jù)點(diǎn)P在f（x）=2sin（ωx+φ）的圖象上，可得2sinφ=

3

，即sinφ=

3

2

．
再由 丨φ丨＜

π

2

，可得φ=

π

3

，∴f（x）=2sin（

π

3

x+

π

3

）．
由此可得函數(shù)g（x）=f（x）+f（-x）=2sin（

π

3

x+

π

3

）+2sin（-

π

3

x+

π

3

）
=2sin

π

3

xcos

π

3

+2cos

π

3

xsin

π

3

-2sin

π

3

xcos

π

3

+2cos

π

3

xsin

π

3

=4cos

π

3

xsin

π

3

=2

3

cos

π

3

x．
令 2kπ≤

π

3

x≤2kπ+π，k∈z，求得 6k≤x≤6kπ+3，k∈z．
故函數(shù)的g（x）的減區(qū)間為[6k，6kπ+3]，k∈z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查余弦定理、余弦函數(shù)的單調(diào)性，兩角和差的正弦公式，三角函數(shù)的周期性和求法，屬于中檔題．