Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx

x

+

a

x

-1（a∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）≤0在區(qū)間（0，e²]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程關(guān)鍵求在x=1的導(dǎo)數(shù)即切線的斜率，
（2）恒成立問題可轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e²]上的最大值，即f（x）_max≤0．

解答：解：（1）因為函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），導(dǎo)函數(shù)f′（x）=

1-(lnx+a)

x2

，
∴k=f′（1）=1-a，
又f（1）=a-1，即切點坐標為（1，a-1），
所以，函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為：
y-（a-1）=（1-a）（x-1），即y=（1-a）x+2（a-1）．
（2）結(jié)合（1），令f′（x）=0得x=e^1-a，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知：
當(dāng)x∈（0，e^1-a）時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（e^1-a，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．
（�。┊�(dāng)e^1-a＜e²時，a＞-1時，f（x）_max=f（e^1-a）=e^a-1-1，
令e^a-1-1≤0，解得a≤1，即-1＜a≤1，
（ⅱ）當(dāng)e^1-a≥e²即a≤-1時，f（x）在（0，e²]上是增函數(shù)，
∴f（x）在（0，e²]上的最大值為f（e²）=

2+a

e2

-1，
令

2+a

e2

-1≤0，解得a≤e²-2，即a≤-1，
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是a≤1．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，恒成立問題的處理方法