過(guò)雙曲線C：x2-
y2
m2
=1的右頂點(diǎn)A作兩條斜率分別為k1、k2的直線AM、AN交雙曲線C于M、N兩點(diǎn)，其k1、k2滿足關(guān)系式k1•k2=-m2且k1+k2≠0，k1＞k2
（1）求直線MN的斜率；
（2）當(dāng)m2=2+
3
時(shí)，若∠MAN=60°，求直線MA、NA的方程．
分析：（1）由已知的雙曲線方程及雙曲線的性質(zhì)可以求得A點(diǎn)坐標(biāo)，由于已知過(guò)A作兩條斜率分別為k1、k2的直線AM、AN交雙曲線C于M、N兩點(diǎn)，把直線MA的方程與雙曲線的方程進(jìn)行聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及xA=1，又k1k2=-m2可以M，N點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系式，進(jìn)而求解；
（2）由于∠MAN=60°，利用到角的定義可以知道AM到AN的角為60°或AN到AM的角為60°，進(jìn)而得到兩直線的斜率的關(guān)系等式，結(jié)合已知的兩斜率的關(guān)系等式，聯(lián)立解處斜率的數(shù)值，再利用直線的方程即可求得直線的方程．
解答：解：（1）C：x2-
y2
m2
=1的右頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0）
設(shè)MA直線方程為y=k1（x-1），代入m2x2-y2-m2=0中，整理得（m2-k1）x2+2k12x-（k12+m2）=0）
由韋達(dá)定理可知xm•xA=
k
2
1
+m2
k
2
1
-m2
，而xA=1，又k1k2=-m2
∴xm=
k
2
1
+m2
k
2
1
-m2
=
k
2
1
-k1k2
k
2
1
+k1k2
=
k1-k2
k1+k2

于是ym=k1(xm-1)=k1(
k1-k2
k1+k2
-1)=
-2k1k2
k1+k2

由同理可知yn=
-2k1k2
k1+k2
，于是有ym=yn
∴MN∥x抽，從而MN直線率kMN=0．
（2）∵∠MAN=60°，說(shuō)明AM到AN的角為60°或AN到AM的角為60°．
則
k2-k1
1+k1k2
=
3
或
k1-k2
1+k1k2
=
3
，
又k1k2=-(3+
3
)，k1＞k2
從而
k2-k1=-3-
3
k1k2=-(2+
3
)

則求得
k1=1
k2=-(2+
3
)
或
k1=2+
3
k2=-1

因此MA，NA的直線的方程為y=x-1，y=-(2+
3
)(x-1)
或?yàn)?span id="ym86yuq" class="MathJye">y=(2+
3
)(x-1)，y=-（x-1）．
點(diǎn)評(píng)：（1）此問(wèn)考查了雙曲線的右定點(diǎn)的定義，直線方程與雙曲線方程聯(lián)立后根與系數(shù)的關(guān)系，還考查了直線的斜率公式；
（2）此問(wèn)考查了到角的定義及到角的公式，還考查了方程的思想，直線的點(diǎn)斜式求出直線的方程．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列命題：
①已知橢圓
x2
16
+
y2
8
=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則這個(gè)橢圓上存在六個(gè)不同的點(diǎn)M，使得△F1MF2為直角三角形；
②已知直線l過(guò)拋物線y=2x2的焦點(diǎn)，且與這條拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為2；
③若過(guò)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，則這兩個(gè)圓恰有2條公切線．
其中正確命題的序號(hào)是
 
．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

雙曲線C：x2-y2=1的漸近線方程為
x±y=0
x±y=0
；若雙曲線C的右頂點(diǎn)為A，過(guò)A的直線l與雙曲線C的兩條漸近線交于P，Q兩點(diǎn)，且
PA
=2
AQ
，則直線l的斜率為
±3
±3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

給出下列命題：
①已知橢圓
x2
16
+
y2
8
=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則這個(gè)橢圓上存在六個(gè)不同的點(diǎn)M，使得△F1MF2為直角三角形；
②已知直線l過(guò)拋物線y=2x2的焦點(diǎn)，且與這條拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為2；
③若過(guò)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，則這兩個(gè)圓恰有2條公切線．
其中正確命題的序號(hào)是______．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年安徽省巢湖市高三（上）質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

給出下列命題：
①已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則這個(gè)橢圓上存在六個(gè)不同的點(diǎn)M，使得△F1MF2為直角三角形；
②已知直線l過(guò)拋物線y=2x2的焦點(diǎn)，且與這條拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為2；
③若過(guò)雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，則這兩個(gè)圓恰有2條公切線．
其中正確命題的序號(hào)是    ．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知雙曲線C：和圓O：x2+y2=b2（其中原點(diǎn)O為圓心），過(guò)雙曲線C上一點(diǎn)P（x，y）引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B．
（1）若雙曲線C上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，求雙曲線離心率e的取值范圍；
（2）求直線AB的方程；
（3）求三角形OAB面積的最大值．

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