Question

已知直二面角α-CD-β，A∈α，B∈β．AB長為2l，AB與α成45°角，與β成30°角，A、B在二面角棱上的射影分別為C、D．
（1）求異面直線AD和BC所成的角的余弦值；
（2）求面ABC與面ABD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以C為原點AA'方向為x軸，CD為y軸，CA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用

CB，

AD

夾角求出異面直線AD和BC所成的角的余弦值
（2）在面BCD內(nèi)作DE⊥BC于E，EF⊥AB于F，連接DF．可以證明∠DFE為面ABC與面ABD所成的角的平面角，在△DFE中求解即可．

解答：解：由于二面角α-CD-β 是直二面角，且BD⊥α
所以BD⊥α，AB與α所成的角即為∠BAD，
同理AB與β所成的角即為∠ABC．即∠BAD=45°，∠BAD=30°．又△ABC和△ABD都是直角三角形AB=2l，則AC=l，BD=AD=

2

l，CD=l．
（1）以C為原點AA'方向為x軸，CD為y軸，CA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

不妨令l=1則 C(0，0，0)，B(

2

，1，0)，A（0，0，1），D（0，1，0）
于是

CB

=(

2

，1，0)，

AD

=(0，1，-1)，
∴cos＜

AD

，

CB

＞=

AD • CB

| AD |•| CB |

=

(0，1，-1)•( 2 ，1，0)

2 • 3

=

1

6

=

6

6

．
∴異面直線AD和BC所成的角的余弦值為

6

6

．--------------------------------------------（4分）
（2）在面BCD內(nèi)作DE⊥BC于E，EF⊥AB于F，連接DF．

由于BC是AB在面BCD內(nèi)的射影，DE⊥BC，則DE⊥AB，又EF⊥AB，∴∠DFE為面ABC與面ABD所成的角的平面角．--------------------------------------（8分）
RT△CDB，CD×DB=BC×DE，DE=

2

3

，
RT△ADB，AD×BD=AB×DF，DF=1，∴EF=

1

3

．
在△DFE中，由余弦定理，求得cos∠DFE=

EF

DF

=

1

3

=

3

3

面ABC與面ABD所成二面角的余弦值為

3

3

．
．----------------------------------------（12分）

點評：本題考查異面直線夾角，二面角大小求解，考查考查空間想象、推理論證能力．利用空間向量的方法，能降低思維難度，思路相對固定，是人們研究解決幾何體問題又一有力工具．